复利与年金-贷款问题
1货币的时间价值
在一般的商业术语中，利息(Interest)的定义是在某个期间使用资金所必须付出的成本。从经济学的观点来看，利息就是货币的时间价值（TimeValueofMoney）。
例如MIKO将元现金存入银行，1年后可得到利息20元。这时原来的元就变成了元。与原来的本金相比它产生了增值。其中，借入或借出的金额称为本金(Principal)，收到的超过本金部分的金额就是利息。在会计上将由于借入资金而支付的超过本金部分的金额称为利息费用(InterestExpense)，由于借出资金而收到的超过本金部分的金额称为利息收入(InterestRevenue)。
但是货币的时间价值并不是只要有时间变化就能产生。货币作为一般等价物，其本身并不具有增值能力。货币只有在作为资本或投资于能够作为再生产的手段时，经过物化的劳动才能使其增值。由于利息是货币时间价值的一种最容易为人接受的表现形式，因此可以用利息来来计量货币时间价值。
2单利和复利
利息有单利和复利之分。
2.1单利（SimpleInterest）
都以首期的本金为基数计算所得的各期利息就叫单利。计算单利的公式为：
I＝Po×R×N(式7.6.1)
式中，Po是本金，R是利率（rate），N是计息的期数。
例1小万年1月1日将现金元存入银行3年，到期1次还本付息，计单利，每年利率10%。年1月1日到期利息为：
×10%×3＝
计算结果见表1。
表1单利计算表
2.2复利(CompoundInterest)
复利是以本金与前期累计的利息之和为基数计算所得的本期利息。
计算复利的公式为：
Po×（1＋R）n－Po＝Po×((1＋R)n－1)(式2)
以上的复利的定义和计算公式都是假设每一期的利息都不支付或提取。
例2当10%的利率按复利考虑时，则.1.1存入元３年，每一年的利息计算如下：
第1年末的利息＝×10%＝
第1年末的本金与利息之和＝＋＝1
第2年末的利息＝1×10%＝累计利息＝＋＝
第2年末的本金与利息之和＝1＋＝1
第3年末的利息＝1×10%＝累计利息＝＋＝
第3年末的本金与利息之和＝＋＋＋＝1
计算结果见表2。
表2复利计算表
利用式2直接计算例2的复利利息为：
I＝×[（1＋10%）3－1]＝×(1.－1)＝
在财务会计中，复利得到了广泛的应用。本书中所指的利息如无特殊说明均指的是复利。
3终值和现值
3.１复利终值（FutureValue-FV）
到期日本金与复利之和称为复利终值，简称为终值FV。
FV＝Po×（1＋R）n(式3)
利用式3计算例2的终值为：
FV＝×（1＋10%）3＝×1.＝1
3.2复利现值（PresentValue－ＰＶ）
与终值对应的概念是复利现值。它是考虑复利时，一定期间后的某一特定金额在当前的价值。复利现值简称为现值。现值等于终值减去利息。它相当于前面所说的第1次投入的本金。因此式3的Po可以用PV代替。即：
FV＝PV×（1＋R）n(式4-1)
由FV计算PV的公式为：
PV＝FV/（1＋R）n(式4-2)
在财务会计中，经常将PV称为复利贴现值。简称为贴现值。
例3如果希望三年后可从银行取得本金加利息1元，每年利率10%，计复利。求期初应存入多少钱？
求期初应存入多少钱，即求复利的现值问题。由式4可得：
PV＝FV/（1＋R）n
＝1/(1+10%)3
＝1/1.＝
3.3一元复利的终值系数和现值系数
本书约定：本金为X元，利率为R，N期的终值表示为：
ＦＶ（Ｒ，Ｎ，Ｘ）
终值为X元，利率为R，N期的现值表示为：
ＰＶ（Ｒ，Ｎ，Ｘ）
当Ｘ等于１元时上述表达式分别为：
ＦＶ（Ｒ，Ｎ，１）
和
ＰＶ（Ｒ，Ｎ，１）
简写为：ＦＶ（Ｒ，Ｎ）或ＦＶ１ 和
ＰＶ（Ｒ，Ｎ）或ＰＶ１
本书将ＦＶ（Ｒ，Ｎ）和ＰＶ（Ｒ，Ｎ）分别称为一元复利的终值系数和现值系数。
FV＝（1＋R）nPV＝１/（1＋R）n(式5)
1元现金的现值和终值系数之间存在着如下的关系：
PV(R,N)＝1／FV(R,N)FV(R,N)＝1／PV(R,N)(式6)
即FV和PV互为倒数。对于R＝10%，N＝3来说：
PV1＝1／FV1＝1／1.＝0.FV1＝1／PV1＝1／0.＝1.
为了简化手工计算过程，可以利用Excel函数(见下节5)来计算现值和终值。
例４GoldenLi将0元存入银行，年利率５%，存期５年。到期日本息之和为多少？这是求终值的问题。
由复利终值系数表(或Excel函数)可求得ＦＶ(5%,5)=1.。所以到期日本息之和，即终值ＦＶ为：
ＦV＝FV(5%,5,0)=0×FV(5%,5)=0×1.=.9
例5GoldenLi希望３年后能积够元陪妻子去欧洲旅行一次。如果银行年利率８%，则他今天要存多少钱到银行？这是求现值的问题。
由复利现值系数表(或Excel函数)可求得ＰＶ(8%,3)=0.。所以Li今天应存入的款项，即现值ＰＶ为：
ＰV＝ＰV(8%,3,)=×PV(8%,3)=×0.=
4年金
例6如果你每年年底将节余的元存入银行，利率10%，则第四年的年末本金加利息和为：
×（1＋0.1）０＋×(1＋0.1)1＋×(1＋0.1)２＋×(1＋0.1)３
＝＋1＋1＋1＝
其过程可以用图1表示。
图1 普通年金终值的求和示意图我们将按照相等的时间间隔，相同的利率（复利）支付（或接收）的相等的金额称为年金(Annuity)。同时将在期末收支的年金称为普通年金，简称年金，在期初收支的年金称为即付年金。本书约定，凡未特别指明的年金都是普通年金。图1所示的是普通年金。图2所示的为即付年金（AnnuityDue）。
图2 即付年金终值的求和示意图年金也有现值和终值之分。计息期末年金和复利之和称为年金终值－FVA。年金和复利的贴现值之和称为年金现值－PVA。即付年金终值表示为FVAD。即付年金现值表示为PVAD。
年金的终值系数和现值系数
本书约定：年金为Ａ元，利率为R，N期的年金终值表示为：
ＦＶＡ（Ｒ，Ｎ，Ａ）＝A×[（1＋R）n－1]/R(式7)
年金为X元，利率为R，N期的现值表示为：
ＰＶA（Ｒ，Ｎ，Ａ）＝A×[1－1/（1＋R）n]/R(式8)
当Ｘ等于１元时上述表达式分别为：
ＦＶＡ（Ｒ，Ｎ，１）
和
ＰＶＡ（Ｒ，Ｎ，１）
简写为：ＦＶＡ（Ｒ，Ｎ）
和
ＰＶＡ（Ｒ，Ｎ）
本书将ＦＶＡ（Ｒ，Ｎ）和ＰＶＡ（Ｒ，Ｎ）分别称为A元年金的终值系数和现值系数。1元年金FVA的计算公式则为：
FVA1＝[（1＋R）n－1]/R(式9)
1元年金PVA的计算公式为：
PVA1＝[1－1/（1＋R）n]/R(式10)
相同的Ｒ，Ｎ，Ａ的即付年金等于普通年金乘以（１＋Ｒ）。即：
FVA=FVAD×(1+R)
(式11)
PVA=PVAD×(1+R)
(式12)
年金终值公式推导如下：
设每年的支付金额为A,利率为R,期数为n,则按复利计算的年金终值FV为：
FV=A+A×(1+R)+…+A×(1+R)^(n-1)-1-
等式两边同乘以(1+R)：
FV(1+R)=A(1+R)+A(1+R)^2+…+A(1+R)^n-2-
上式2两边减去式1，可得：
FV(1+R)-FV=A(1+R)^n–A化简：
FV*R=A((1+R)^n–1)
FV=A((1+R)^n–1)/R
例7假如你在今后的三年中每年年底要拿出元为小孩交学费。银行利率10%。则根据式8现在你应存入银行的款项PVA为：
PVA(0.10,3,)=×[1－1/（1＋0.1）3]/0.1=×2.=2
5EXCEL的财务函数
在MicrosoftOffice软件中，利用电子表格EXCEL可以很容易的计算出上述的PV、FV、PVA、FVA的系数和具体的值。具体操作有公式法和函数法。
5.1公式法
所谓公式法就是在EXCEL的单元格中，直接输入计算公式来求各种现值和终值。
对于例7.6.2求复利终值,只要在单元格中输入*（1＋0.1）^3,就可以得到结果1。
对于例7.6.3求复利现值,只要在单元格中输入1/（1＋0.1）^3,就可以得到结果。
5.2函数求解法
公式法虽然简单明了，但是计算起来还是比较麻烦，尤其是在手工状态下更是费时费力。更简单的方法是利用EXCEL的财务函数来求解。在EXCEL中有很多财务函数。与本课程有关的有五个：PV-现值，FV-终值，Pmt-月或者年供款，即本文所说的年金，Rate-利率,Nper-期数。其自变量的格式分别为：
PV(Rate,Nper,Pmt,FV,Type)
FV(Rate,Nper,Pmt,PV,Type)
Rate(Nper,Pmt,PV,FV,Type)
Nper(Rate,Pmt,PV,FV,Type)
Pmt(Rate,Nper,PV,FV,Type)
其中的type为付款方式。0表示年底付款，1表示年初付款。
我们只要知道PV、FV、PMT、R、N，五个变量中的任意三个变量，就可以求另外两个变量的值。
注意在直接输入变量时，自变量缺省时需要保留其间隔的［，］。
例8如果希望三年后可从银行取得本金加利息1元，每年利率10%，计复利。求期初应存入多少钱－求现值？
用EXCEL求解的具体操作为：
启动EXCEL，在任意单元格选择：插入－－－函数－－－财务－－－ＰV。
在弹出窗口中依次输入Rate(利率)＝0.1,Nper(付款期数)＝3,Pmt(每次金额)＝0（0表示除第1年外以后各年无投入）,ＦV（终值）＝1,type＝0（年底付款）
就可以得到结果。
或者直接在单元格中输入＝PV(0.1,3,,1,0)，也可以得到同样的结果。
显然，用函数比公式法要简便得多，尤其是在年限很长求年金时更是如此。
例9假如你现在想买75”电视机，价值0元。银行贷款利率10%，你计划在三年内每年年底归还相同的金额。请问你三年的每年年末要还款多少钱？
这虽然是求将来每年应付多少钱，但因为贴现值之和发生在前。所以要用PVA来求每次支付的年金数，即年供款Ａ－Pmt（）。
在EXCEL中选择：插入－－－函数－－－财务－－－Pmt。
在弹出窗口中依次输入Rate(利率)＝0.1,Nper(付款期数)＝3,PV(年金现值)＝－0（负表示支出）,Fv不输,type＝0(0表示年底付款，1表示年初付款)。就可以得到结果－.15
也就是你每年年底需要准备.15元还给银行。
例10如果你希望在今后的四年内每年年底得到元作为子女的教育费，求现在应当存入多少钱到银行。银行利率为10%。这是求ＰＶＡ的问题。
在EXCEL中选择：插入－－－函数－－－财务－－－PV。
在弹出窗口中依次输入Rate(利率)＝0.1,Nper(付款期数)＝4,Pmt(年金现值)＝（正表示收入）,Fv不输,type＝0(0表示年底付款，1表示年初付款)。就可以得到结果–。
也就是你现在存入元到银行就可以在今后的4年内每年年底从银行得到元。
例11Ocean公司发行面值元票面利率10%的5年期债券。当市场利率为8%时，请用EXCEL计算债券的发行价应该是多少？
按照债券的发行价格计算理论，由于债券采用的是溢价发行。发行价可以两次运用PV函数求得。
A先求终值元在8%的市场利率下的现值PV1。在单元格Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４分别输入0.08,0.1,5,。
在Ｂ１单元格选：插入－－－函数－－－财务－－－PV。
在弹出窗口中依次输入Rate(利率)＝Ａ1,Nper(付款期数)＝Ａ３,Pmt(年金)＝0,
FV,A4＝,type＝0。就可以得到结果PV=-.58。
B再求票面利率10%下，获得的利息按市场利率8%折合成现值PV2等于多少。在Ｂ2单元格选：插入－－－函数－－－财务－－－PV。
在弹出窗口中依次输入Rate(利率)＝A1,Nper(付款期数)＝A3,Pmt(年金)＝A4*A2,FV不输,type＝0。就可以得到结果PV=-.27。
再在单元格Ｂ３中输入：＝Ｂ１＋Ｂ２，回车就可以得到最后的结果-.85
PV1+PV2=P×PV(R,N)＋P×Ｒ’×PVA(R,N)
（式4-1）
=×PV(8%,5)+×10%×PVA(8%,5)
=-.58+-.27=-.85
在函数的自变量中用单元格操作的优点是改变已知条件时，只要改变单元格的数据而不要修改求ＰＶ等结果的函数中的变量值。例如将上述的面值改为，再求发行价，就只要将单元格的改为就可以得到新的结果.49。
有关贷款的案例。
例12从网贷借块钱，用24个月，共还款。请问年利率是多少？
这需要分两步计算才知道利率是多少。
1先计算每月还款额：/24=.71
2计算利率
利用office的EXCEL很容易将结果计算出来。
将期数N=24，月供款PMT=.71，本金PV=，代入EXCEL的求月利率的函数RATE，可以求得：
月利率R=2.%
相当于年利率=31.%.–十足的高利贷。
例13有网友问：秦皇岛房子62万首付交15万,一个月还0,贷款30年的利息共多少钱？
如果只想知道月供款后的总的利息数，是比较容易计算的。
62W-15W=47W。
30年共计还款本金加利息是：
=0*30*12=.减去本金：总的利息数是：
-=60。大于本金。
如果想要知道贷款的利率，则：
将期数N=30*12=，月供款PMT=0，本金PV=，代入EXCEL的求月利率的函数RATE，可以求得：
月利率R=0.55%
相当于年利率=6.6%.高于一般国有银行利率一个百分点。
例14等额本息贷款56万，期限30年，现在每个月供款，还了2年了。1请问我现在还欠多少本金？2如果在2年末我提前还15万后每个月的月供是多少？
这个题要分三部走。
1先要求贷款利率。
将期数N=30*12=，月供款PMT=，本金PV=，代入EXCEL的求月利率的函数RATE，可以求得：
月利率R=0.%
2求余下28年的所欠本金的现值PV：
将月利率R=0.%，N=，月供款PMT=，代入EXCEL的求贷款额度现值的函数PV，可以求得：
PV=
3现在提前还，等于还欠贷款-=.
将月利率R=0.%，N=，本金PV=，代入EXCEL的求月供款的函数PMT，可以求得：月供款PMT=.49
提前还后每个月少了将近元。
例15请问我贷款买了一台二手丰田，贷款分36期，三年总利息，请问超过国家规定了吗？
计算贷款利率，不能简单的用总利息除以36期来计算。因为在等额本息还款法下，所欠本金是随着还款次数的增加而越来越少的。所以实际利率比这样计算要高很多。
准确的计算应该用EXCEL的财务函数利率RATE来计算。具体如下
1，36期还款总额T=+=。月供款=T/36=.92
2，将期数N=3*12=36，月供款PMT=.92，本金PV=0，代入EXCEL的求月利率的函数RATE，可以求得：月利率R=1.37%相当于年利率=16.4%.
没有超过最高法规定的24%。为合法利率。